数字在计算机中的“硬币表示”

上篇博文 引出了“硬币模型”，从“抛硬币”的角度描述了计算机数据的最本质属性。同时也介绍了为若干硬币赋予现实意义、实现更多数据展示的基本思路。

接下来我也具体展开介绍一下数字、文字、音频、图像、视频在“硬币体系”下的表达，为你带来更直观的印象，本篇将重点介绍“数字”的表达。

1. 放下“硬币”

读过上篇博文的你，大概已经有了解我们说的“硬币体系”，它其实就是数学角度的 “二进制位”，这里先明确一个设定：

为了更好地表达更复杂的概念，这时候的你需要逐渐放下“硬币”这样的模型，去适应那由符号 0 和 1 构成的数学世界啦。

2. 表达数字

我们用“二进制位”表达数字，也是和上文所说为硬币的正反状态赋予 “意义体系” 的思路。

这里介绍两个最常见的关于计算机中的数字的“意义体系”，一个是表达整数的补码表示法，一个是表达小数的浮点表示法。

3. 整数与补码表示法

表达整数，首先面临的第一个问题：我们常用的整数，范围是从负无穷到正无穷，个数也是无穷的。而一台电脑不管能提供多少硬币，它都是有限的，自然，计算机的“硬币体系”所能表达的数字范围也是有限的。

我们必须接受一个现实：计算机面对整数，只能表达其中有限的一部分。

当然，一般我们也不会说用到无限大，所以只要硬币足够多，提供的状态数量是还是足够日常的表达需要的。比如说，假如我们用 4 Bytes 也就是 32 枚硬币去表达一个数字，它能提供 $2^{32} = 4294967296$ （约43亿）个状态，平分下来可以用来表达 -21.5亿 ~ 21.5亿；若我们再加 4 Bytes，有 8 Bytes （64枚硬币）的话，就能提供 $2^{64} \approx 1.84 * 10^{19}$ 种状态。所以说，虽然有限，但并不代表不够用。

我们知道，整数分为正整数、负整数和0，要用固定的状态数去表达整数，我们得有个约定的规则去分配这些状态数，最好能够保持整数的一部分运算性质。

补码表示法也正是在这个背景下，表达整数的一种规则，这里也简单介绍一下。

首先，补码规则的前提是，数字需要写成二进制形式（也就是说要能够通过摆若干个正反面硬币来表达），并且划定一个固定的位数（硬币个数），比如说 4位、8位、16位、32位、64位等等。

然后是具体规则：

1. 对于正数和 0 来说，它的补码即这个数字本身在上面固定位数的表达。
2. 对于负数，它的补码是一个能与它的绝对值“互补”的数。

只是说“互补”自然是看的一脸懵逼的，这里我们用我们生活中常见的模型，做进一步解释。

3.1 钟表的运算模型

“补码”本质上是依赖某种类似钟表的模型设计的规则，假设我们有一个只有秒针的表，如图。

我们知道，表盘中有 60 个刻度，每一个刻度代表着从 0 - 59 中的一个数字；每过一秒秒针往前跳动一格，假设我们从 0 出发，经过 20 秒，跳动二十格，指针指向 20；再过30秒，指针指向 50。

等等，时间再往后 20 秒，秒针再跳 20 格，它该指向哪里呢？70？显然不是，表盘没有 70 这个刻度，结合生活经验，我们知道它会停在 “10” 这个刻度上。

也就是说，无论你往前跳多少，只要你还在表盘内，每经过一次 60 就归零一次（触发一次进位），你就一直在 0 - 59 之间循环。用数学的话来说，每超过 60 你就得减去 60，运用小学除法，实际上最终的结果就是：

(“在第几个刻度出发” + “变化的刻度数”) 除以 “表盘总共的刻度数” 得到的 余数。

在这个表盘中，我们只关心余数，顾名思义，这种运算也叫做“求余运算”，有个专门的运算符叫 $mod$，用上这个符号，求上面的表盘停在哪个刻度的计算过程，用数学符号表示就是：

$$ (0 + 20 + 30 + 20) \space mod \space 60 = 10 $$

表盘的体系中，刻度与刻度之间的运算，在实际上都可以化为秒针的前后跳动，最后根据秒针跳动的刻度数 $mod\ 60$ 得到秒针该停下来的位置，对应的刻度即为运算结果。

3.2 刻度的分配策略

上文我们说到，负数在这里的表达，是一个与它的绝对值“互补”的数，了解了钟表的刻度模型以后，接下来就是如何利用这个模型的规律，在钟表中分配一些属于负数的“刻度”。

钟表里面 0-59 这六十个刻度，每满足一个 60 就会归零，很容易想到 $1+59=60$，$2+58=60$，$3+57=60$... 有没有发现规律所在？

我们用数学符号严格地把这样的规律表达出来，首先是从钟表刻度的角度：

$$ (1+59)\ mod\ 60 = 0 \ (2+58)\ mod\ 60 = 0 \ (3+57)\ mod\ 60 = 0 \ ... \ (29+31)\ mod\ 60 = 0 \ (30+30)\ mod\ 60 = 0 $$

在整数的体系下是这样的：

$$ (1+(-1)) = 0 \ (2+(-2)) = 0 \ (3+(-3)) = 0 \ ... \ (29+(-29)) = 0 \ (30+(-30)) = 0 $$

也就是说，我把钟表的后三十个分给负数，一部分整数的运算就成为了现实！

还有一个问题，刻度 30 只有一个，我不可能让它既表示 +30 又表示 -30，按设计补码的思路，把它分配给 -30（后面我会解释为什么）。

这时候刻度是这么分配的：

1. 钟表的零刻度分给整数中的 0
2. 刻度 1 ~ 29 分给整数中的 1 ~ 29
3. 刻度 59 ~ 30 分给整数中的 -1 ~ -30

于是我们就实现了 $-30 \to 29$ 这六十个数字在钟表体系下的分配。

3.3 实际的补码

计算机的运算过程也是类似的钟表结构，这里我们以 4 个二进制位为例，说明这种情况。

想象一下，我们有 4 枚硬币，可以构成 4 位二进制数，共有 $2^4 = 16$ 种正反面组合的情况，我们按照一样的模型，画出对应的表盘。

我们把补码与对应的十进制数列成表格：

除去 1000 和 0000，在剩下的数字中，观察补码的首位，你可能会发现，补码里的正数第一位都是 0，补码的负数第一位是 1。为了运算电路实现的方便，这里我们就把第一位约定为“符号位”，这样，剩下的 1000 就分给负数了。这就是为什么补码规则下 1000 对应了 -8 而不是 +8。

到这里，我们就了解到了计算机表示整数的机制，当我们用更多的二进制位（上面说到的 8 位、16位、32位、64位），计算机就有更大的钟表可以提供给我们，同时就能表示更大的整数范围。现在流行的电脑、手机等设备都是 64 位了，上文有提到，它能提供的“钟表”有 $2^{64} \approx 1.84 * 10^{19}$ 个刻度，意味着至少可以表示 $\pm\ 9.2 * 10^{18}$ 的整数，日常绝对是够用了。

严格来说，计算机中补码依赖的上述钟表的运算模型属于 “同余”的范畴，我们叫它“整数”，只是因为同余的运算性质和整数类似，就像上文所说的“足够用”。这里只做蜻蜓点水，有兴趣深入的朋友可以自己搜索学习。

关于补码，这里还有一个有趣的小漫画：我男朋友是个程序员# 2 之《噩梦》

3.4 计算器的 “程序员” 模式

如果对补码感兴趣，还可以用电脑自带的“计算器”软件来手动转换，微软 Windows 系统提供了一个计算器软件，首先我们大概认识一下它的界面。

其中需要解释的概念是字长，字 代表电脑一次处理运算事务的单位，字长即为这个单位有几个二进制位，我们可以理解为一个钟表有几个刻度。日常用到的字长分别有个名字：Byte, Word, DWord, QWord，列一个表格介绍下：

切换到二进制输入模式，点击字长切换，我们可以直观地观察它们各自的长度变化。

4. 小数与浮点表示法

上面我们介绍了整数的表示，想要表示小数的话，我们需要定义的状态已经从整数的范围扩展到了实数范围。

前面已经说过，计算机的二进制体系（“硬币体系”）所能表达的状态是有限的。整数的无限在于没有上限和下限，扩展到实数范围，它的无限除了上下限外，小数的本身也是“无限”的，这里的无限已经无孔不入，不可能再通过补码的方式解决，我们怎么用计算机的有限的状态去接近这无限的数字个数，便是这里最最核心的问题。

想通过“有限”去接近无限，也就意味着有所取舍。在前人的研究下，采用了一种名为浮点数 (float point number) 的表示法来表示小数。

因为浮点数本身较为复杂，这篇小小的科普文章无法承载，所以这里的目标是带来一个基本的印象，若有进一步的兴趣，可以自行在网上搜索学习。

4.1 “乘2”与移位

在继续介绍浮点数前，需要有一点计算机二进制位运算的基础。我们知道，在计算机中，所有的信息都是通过“二进制位”的组合去描述的。它在数学角度表现为 010101 这样的数字。

运算方面，若你有仔细观察过数字，你可能会注意到，十进制整数里面，我们在数字末尾添一个 0，数字的值就相当于 $*\ 10$，砍掉末尾的一位，数字的值相当于 $÷\ 10$。比如说，$1230 = 123*10$，$123 = 1230 ÷ 10$。

二进制数一样有类似的规律，我们在一个二进制位末尾添一个 0，数字的值相当于 $*\ 2$，砍掉末尾的一位，数字的值相当于 $÷\ 2$。

用枯燥的数学语言表示如下：

$$ 101_2 = 1*2^2+0*2^1+1*2^0 = 5 \ 1010_2 = 1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0\ = 10_{10} = 5*2 $$

注：下标 $a_2$ 代表采用 2 进制给 a 计数，下标 $a_{10}$ 代表用 10 进制给 a 计数，省略下标代表都是十进制）

我们还可以把末尾添一个 0 理解位小数点往右移动一位，砍掉末尾一位，理解为小数点往左移动一位，然后丢掉小数点背后的部分。

在二进制中，$\times 2^n$ 也就意味着小数点向右移动 n 位。

从这个角度来看，移位的操作某种意义上来说，也意味着小数点的移动，这也是浮点数中“浮点”的含义，无论二进制还是十进制。二进制移位运算已经在机器层面实现，这是它最大的价值所在。

4.2 浮点数基本结构

现在我可以正式地介绍浮点数了，和整数一样，首先要确定一次用多少个二进制位（硬币）来表达浮点数，常用的浮点数用到的二进制位个数有两种，32位和64位，这里先用 32 位（4 bytes）来说吧。

首先是分工，浮点数由 3 部分组成：符号位(sign)、指数(exponent)、有效数位(fraction)。

32 个二进制位的分配如下：

1. 分一个给符号位，符号位为 1 时代表负、为 0 时代表正。
2. 然后分 8 个位给指数，这个数参与最后的求值过程。
3. 剩下还有 23 个位，分给有效数位，有效数位本身有 24 位，规则规定第一位一定是1，那就不需要再储存，省下1位，剩下23位实际储存。

这三部分各自储存了一个数字，最后的数值计算遵循如下规则：

$$ value = sign\times fraction \times 2^{exponent} $$

上一节我们提到，$\times 2^n$ 相当于小数点向右移动 n 位，所以说，影响到精确度的关键，就在于有效数字 $fraction$，$exponent$ 影响的是数值的大小。

一张图片概括浮点数的求值过程：

4.3 浮点数类型

在上世纪六、七十年代，计算机公司的浮点数千差万别，无论是表达浮点数的位数、还是分配的规则，它们没有固定的标准，在信息交换的过程带来了混乱。

为了统一这种混乱，电气电子工程师学会 制定了IEEE 二进制浮点数算术标准（IEEE 754），确定了浮点数各个细节的规范。

在 IEEE 754 标准中，上一节所介绍的 32 位浮点数规则有个确定的名字，叫做 单精度浮点数。

对应还有双精度浮点数，它使用 64 位（8 bytes）来存储一个浮点数，相比于单精度浮点数，它可以存储更多的有效数字，更大的指数，意味着更精确，它的分配方案如下。

4.4 精度问题

浮点数是二进制的，有的十进制数字在转换为二进制数的时候可能会出现“无限循环小数”的情况，导致无法完全存储，依赖浮点数运算时会产生误差。

下面是一个 Python 的例子，我们发现，0.1+0.2 其实并不总是等于 0.3：

Python 的数字默认用了双精度浮点数，也就是说，转换成二进制后的精确值只能保留到小数点 52 位，0.1 与 0.2 对应的二进制的值如下。

0.1 -> 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011001
0.2 -> 0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011

实际上除了 0.5 外，0.1-0.9 中的数字在二进制角度都会因为无限循环而导致出问题（你可以试试），浮点运算最终给我们的，是一个近似值。换句话说，浮点运算会丢失精度，这是我们使用时需要注意的。

5. 参考资料

1. 补码 - 维基百科
2. What is modular arithmetic? - Khan Academy
3. 同余运算及其基本性质 | Matrix67: The Aha Moments
4. 补码10000000为什么可以表示-128？ - 知乎
5. 字 (计算机) - 维基百科
6. IEEE 754 - 维基百科
7. 单精度浮点数 - 维基百科
8. 双精度浮点数 - 维基百科，自由的百科全书
9. JavaScript浮点数的精度问题深究 - 简书