【数值计算方法（黄明游）】矩阵特征值与特征向量的计算（三）：Jacobi 旋转法【理论到程序】

矩阵的特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）在很多应用中都具有重要的数学和物理意义。Jacobi 旋转法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的迭代方法。
本文将详细介绍 Jacobi 旋转法的基本原理和步骤，通过一个具体的矩阵示例演示其应用过程，并给出其Python实现。

一、Jacobi 旋转法

Jacobi 旋转法的每一次迭代中，需要选择一个非对角元素最大的位置，然后构造相应的旋转矩阵，进行相似变换，使得矩阵逐渐对角化。

对称矩阵是一个实数矩阵，其转置与自身相等。
对于一个方阵

，如果存在标量

和非零向量

，使得

Av = λv

，那么

就是

的特征值，

就是对应于

的特征向量。

1. 基本思想

Jacobi 旋转法的基本思想是通过一系列的相似变换，逐步将对称矩阵对角化，使得非对角元素趋于零。这个过程中，特征值逐渐浮现在对角线上，而相应的特征向量也被逐步找到。下面是 Jacobi 旋转法的基本步骤：

选择旋转角度： 选择一个旋转角度 θ，通常使得旋转矩阵中的非对角元素为零，从而实现对角化，通常选择非对角元素中绝对值最大的那个作为旋转的目标。
构造旋转矩阵： 构造一个旋转矩阵 J，该矩阵为单位矩阵，只有对应于选择的非对角元素的位置上有两个非零元素，其余位置上为零。这两个非零元素的值由旋转角度 θ 决定，例如，对于 2x2 矩阵，旋转矩阵可以表示为：

J = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}

相似变换： 计算相似变换矩阵

，即

P^TAP

，其中

是原始矩阵，

是旋转矩阵，计算过程如下：

P^TAP = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}

通过矩阵相乘计算，我们可以得到

P^TAP

中的非对角元素，假设这两个元素分别位于矩阵的 (1,2) 和 (2,1) 的位置。令

a_{ij}

为这两个元素，即

a_{ij}= a_{12} = a_{21}

。

接下来，我们希望通过选择合适的

\theta

使得

a_{ij}

变为零，从而达到对角化的目的，即

a_{12} = a_{21}

，进一步可推导出

\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}}\right)

a_{ii}=a_{jj}

，则使用

arccot

形式

迭代： 重复步骤 1-3，直到矩阵 A 的非对角元素都趋于零或满足一定的精度要求。
提取特征值和特征向量： 对角线上的元素即为矩阵 A 的特征值，而 P 中的列向量即为对应于这些特征值的特征向量。

2. 计算过程演示

对于矩阵

A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}

我们首先找到非对角元素中绝对值最大的元素，这里我们以 (2,1) 为例，计算旋转角度和旋转矩阵。

选择旋转角度： 计算旋转角度

\theta

公式：

\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}}\right)

其中，

a_{ii}

和

a_{jj}

分别是矩阵的对角元素，而

a_{ij}

是非对角元素，即

a_{21}

。在这个例子中，

a_{21} = -1

，

a_{11} = a_{22} = 2

。

\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{-2}{0}\right) = -\frac{\pi}{4}

构造旋转矩阵：

J = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}

对于

\theta = -\frac{\pi}{4}

：

J = \begin{bmatrix} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) & -\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) & \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) \end{bmatrix}

计算得：

J = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}

相似变换： 计算相似变换矩阵

：

P^T A P

在这里，

就是构造的旋转矩阵

。

迭代： 重复上述步骤，直到矩阵足够接近对角矩阵。

这个过程会一步步地使矩阵趋近于对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵的特征值，而相应的列向量就是对应的特征向量。由于计算较为繁琐，我在这里只展示了一个迭代的过程，实际应用中，需要进行多次迭代，直到满足精度的要求。

二、Python实现

代码语言：javascript

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import numpy as np
def jacobi_rotation(A):

n = A.shape[0]

tolerance = 1e-10

max_iterations = 1000

eigenvectors = np.eye(n)
for _ in range(max_iterations):
    # 寻找最大的非对角元素
    max_off_diag = np.max(np.abs(np.triu(A, k=1)))
    if max_off_diag &lt; tolerance:
        break  # 达到收敛条件

    # 找到最大元素的索引
    indices = np.unravel_index(np.argmax(np.abs(np.triu(A, k=1))), A.shape)

    i, j = indices
    # 计算旋转角度
    theta = 0.5 * np.arctan2(2 * A[i, j], A[i, i] - A[j, j])

    # 构造旋转矩阵
    J = np.eye(n)
    J[i, i] = J[j, j] = np.cos(theta)
    J[i, j] = -np.sin(theta)
    J[j, i] = np.sin(theta)

    # 执行相似变换
    A = np.dot(np.dot(J.T, A), J)

    # 更新特征向量
    eigenvectors = np.dot(eigenvectors, J)

# 提取特征值
eigenvalues = np.diag(A)

return eigenvalues, eigenvectors

示例矩阵
A = np.array([[2, -1, 0],

[-1, 2, -1],

[0, -1, 2]])
执行 Jacobi 旋转
eigenvalues, eigenvectors = jacobi_rotation(A)
print("特征值:", eigenvalues)

print("特征向量:")

np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)

print(eigenvectors)

迭代过程（调试）

第一次：

第二次：

………

第九次：