计算机组成原理：第二章运算法和运算器

2.1 数据与文字的表示方式

2.1.1 数据格式

1.定点数表示法

将数据分为纯整数和纯小数两类，用n+1位表示一个定点数，x_n为符号位，放在最左边，0表示正号，1表示负号。故一个数 x 可以表示为 x = x_nx_{n-1}…x_1x_0

x为纯小数：0\leq |x|\leq 1-2^{-n}

x为纯整数：0\leq |x| \leq 2^n-1

计算机中多采用定点纯整数表示，将定点数表示的运算简称整数运算。

2.浮点数表示法

小数点随着阶码的不同而浮动，数的范围和精度分别表示。

格式：N = R^e.M

M称为浮点数的尾数，e 称为指数，是一个整数，R是基数，一般隐式表示（通常2或10）。在机器中，尾数用定点小数形式表示，指数用定点整数形式表示，称为阶码。

3. 浮点数表示范围

4. 浮点数的规格化

规格化形式：

基数 r = 2 ，尾数最高位为 1
基数 r = 4 ，尾数最高 2 位不全为 0
基数 r = 8 ，尾数最高 3 位不全为 0

基数不同，浮点数的规格化形式不同。

规格化方式：

r = 2 左规尾数左移 1 位，阶码减 1 右规尾数右移 1 位，阶码加 1
r = 4 左规尾数左移 2 位，阶码减 1 右规尾数右移 2 位，阶码加 1
r = 8 左规尾数左移 3 位，阶码减 1 右规尾数右移 3 位，阶码加 1

基数 r 越大，可表示的浮点数的范围越大，基数 r 越大，浮点数的精度降低。 举例：

1.设 m = 4，n = 10，r = 2，求尾数规格化后的浮点数表示范围。

最大正数 = 2^{+1111} * 0.1111111111 = 2^{15} * (1-2^{-10})

最小正数 = 2^{-1111} * 0.1000000000 = 2^{-15} * (2^{-1}) = 2^{-16} （尾数第一位规格化后必须为1）

最大负数 = 2^{-1111} * -0.1000000000 = -2^{-15} * 2^{-1} = -2^{-16}

最小负数 – 2^{+1111} * -0.1111111111 = -2^{15} * (1-2^{-10})

例 6.13 将 x = + 19/128 写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。其中数值部分均取 10 位，数符取 1 位，浮点数阶码取 5 位（含1位阶符），尾数规格化。

x的二进制表示: 设 x = + 19/128

二进制形式： x = 0.0010011

定点表示： x = 0.0010011000

浮点规格化： x = 0.1001100000 * 2^{-10}

定点机中： [ x ]_ 原 = [ x ]_ 补 = [ x ]_ 反 = 0.0010011000

浮点机中： [ x ]_ 原 = 1,0010；0.1001100000 [ x ]_ 补 = 1,1110；0.1001100000 [ x ]_ 反 = 1,1101；0.1001100000

5. 十进制数表示

字符串形式即一个字节存放一个十进制的数位或符号位，还需要存放该数在主存中的起始地址和该数的位数。
压缩的十进制数串形式即一个字节存放两个十进制的数位或符号位即BCD码(压缩)，即一个字节存放两个十进制的数位或符号位即BCD码(压缩)。

2.1.2数的机器码表示

1. 原码表示法

(1) 数学定义

整数：

整数的第一位为符号位，用 “,”隔开，0表示正数，1表示负数,x为真值，n为整数的位数。

小数：

(2) 举例

[ x ]_原 = 1.001 x = -0.001

[ x ]_原 = 0.101 x = +0.101

[ x ]_原 = 1,110 x = -110

[ x ]_原 = 0,011 x = +011

结论：有逗号表示整数，有小数点表示小数，符号前的数表示符号，0表示正数，1表示负数。

(3) 特点

简单、直观，但是在加法运算时由于符号位的存在，不能简单地按位相加，“+0”和“-0”的原码不同。

2.补码表示法

(1) 补的概念

以时钟为例，在时钟上进行运算相当于是模12下的运算。如果要-3，有两种途径：把指针向后拨3位（-3）或者向前拨9位（+9），故可以用这种方式将减法转换成加法，我们称+9是-3在模12下的补数。
结论：
1. 一个负数加上“模”就是它的补数（如-3+12=9，表示-3在模为12下的补数是9）。
2. 一个正数和一个负数互为补数时，他们绝对值之和即为模数（相当于结论1的逆运算）。
3. 正数的补数就是其本身。
4. “+0”和“-0”的补码相同

(2) 补码的定义

（勘误：下方公式的下标应该为“补”）

整数：

小数：

(4) 快速求补码

当真值为负数时，补码可以用原码忽略符号位每位取反后末位+1得到，再将符号位填1。

如：x = -1010,取反得0101,+1得0110,加上符号位得补码：1,0110。

原因如下：

根据补码的最初定义，[ x ]_ 补 = 2^{n+1} + x，假设x是个4位负数，用 -x_1x_2x_3x_4 表示，那么公式可以写成 [x]_ 补 = 2^5 – x_1x_2x_3x_4 = 100000 – x_1x_2x_3x_4 = 11111 + 00001 – x_1x_2x_3x_4 ，而对于 11111-x_1x_2x_3x_4 就可以看成 1 \bar{x_1}\bar{x_2}\bar{x_3}\bar{x_4} ，然后再加上一个 00001 。即除符号位外，每位取反，末位+1。

所以，已知x的补码，也可以很容易地求得-x的补码，即整体取反+1。树状数组的关键函数lowbit用于求一个数从末尾开始的第一个1所在位置的十进制数，其实现方式就是x & -x，用的就是这里的原理。

3.反码表示法

(1) 定义

（勘误：下方公式的下标应该为“反”）

整数：

小数：

即当真值为负数时，反码可以用原码除符号位外每位取反得到，正数反码不变，“+0”和“-0”的反码不同。

4. 三种表示法小结

最高位为符号位，书写上用“,”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开。
对于正数，原码 = 补码 = 反码。
对于负数，原码符号位为 1，数值位不变，原码除符号位外取反后得反码，反码末位+1得补码，补码符号位取反得移码，补码连同符号位取反后+1得相反数的补码。

一字节空间可以表示的范围：

疑问：加蓝处为何为-128？

答：二进制代码10000000表示负数，忽略符号位取反后+1得到其补码也为1000000，如果按照原码的定义，10000000表示-0，但是补码没有“+0”和“-0”之分，补码的0全用00000000表示，多出的“-0”用于表示-128，所以补码比其他都多一个最小数。

5.移码表示法

(1) 定义

由于符号位存在，补码很难直接判断真值大小。

[ x ]_移 = 2^n + x (2^n > x \geq -2^n)

x = 10100,[ x ]_移 = 2^5+10100 = 1,10100

x = -10100,[ x ]_移 = 2^5-10100 = 0,01100

移码与补码只差一个符号位，符号位取反两者就能相互转换。

证明：

正数：[ x ]_ 补 = 0,x [ x ]_ 移 = 2^n + x ，相当于在第n为 +1，即在符号位取反。

负数：[ x ]_ 补 = 2^{n+1}+x = (2^n+x) + 2^n = [ x ]_ 移 + 2^n，也相当于符号位取反。

(2) 特点

[ +0 ]_ 移 = [ -0 ]_ 移

最小真值的移码为全 0,用移码表示浮点数的阶码,能方便地判断浮点数的阶码大小。

6. IEEE754标准

IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号,它规定了浮点数在计算机当中的存储方式以及算术标准等。

浮点格式可分为符号位s，指数位e以及尾数位f三部分。

规定了单精度（32）和双精度（64）两种基本格式（还有其他特殊格式不做介绍），规定尾数用原码，阶码用移码表示，但是不完全等同与移码，真值和阶码的转换为：单精度 E=e+127 ，双精度 E=e+1023 , E 为阶码， e 为指数真值。尾数域最高位总是1，隐藏在小数点左边不显示。

在IEEE-754 标准下，浮点数一共分为：

NaN：即Not a Number。非数的指数位全部为1 同时尾数位不全为0。在此前提下，根据尾数位首位是否为1，NaN 还可以分为SNaN 和QNaN 两类。前者参与运算时将会发生异常。
无穷数：指数位全部为1 同时尾数位全为0，根据符号决定正负。
规格化数：指数位不全为1 同时尾不全为0。此时浮点数的隐含位有效，其值为1。
非规格化数：指数位全为0 且尾数位不全为0。此时隐含位有效，值为0。另外需要注意，以单精度时为例，真实指数E 并非0-127=-127，而是-126，这样一来就与规格化下最小真实指数E=1-127=-126 达成统一，形成过度。
0 ：指数位与尾数位都全为0，根据符号位决定正负。

2.1.3字符与字符串的表示方法

符号数据:字符信息用数据表示，如ASCII等; ASCII:用一个字节来表示,低7位用来编码(128),最高位为校验位，字符串的存放方法：可以从低位到高位存放也可以从高位到低位存放。

2.1.4 汉字的表示方法

1. 汉字的输入编码

数字编码拼音码字形编码

2.汉字内码

汉字信息的存储，交换和检索的机内代码，两个字节组成，每个字节高位都为1(区别于英文字符)。

汉字字模码

用点阵表示汉字字形，形成汉字库。

输入编码用于输入，汉字内码用于计算机内部处理，字模码用于汉字输出。

2.1.5 校验码（奇偶校验）

设x = x_0x_1…x_{n-1}是一个n位字，奇校验位C定义为：\bar{c} = x_0 \bigoplus x_1 \bigoplus…\bigoplus x_{n-1},即只有x中有奇数个1时才会使得c = 0。奇偶校验码只能检测奇数个错误，无法检测偶数个错误，更不能提供错误的位置。

2.2定点加减法运算

2.2.1 补码加法

公式：[ x ]_ 补 + [ y ]_ 补 = [x+y]_ 补

补码加法特点：符号位一起参与运算，在模 2^{n+1} 下运算，即溢出舍去。

2.2.2 补码减法

公式： [ x-y ]_ 补 = [ x ]_ 补 – [ y ]_ 补 = [ x ]_ 补 + [ -y ]_ 补

已知y的补求-y的补方法： 连同符号位取反后末尾+1。

2.2.3 溢出概念与检测方法

1.定义

定点整数机器中，数的表示范围|x| < 2^n-1

2.双符号位法判断溢出

[ x ]_ 补 = 2^{n+2}+x (mod2^{n+2})

[ x ]_ 补 + [ y ]_ 补 = [x+y]_ 补 (mod 2^{n+2})

规则：两个符号位一起参与模2^{n+2}下的运算，符号位为11表示负数，00表示正数，01和10表示溢出，最高符号位表示正确的符号，01为正溢，10为负溢。

3.单符号判断溢出

当符号位产生进位而最高有效位没进位时发生负溢，当符号位无进位而最高有效位进位时发生正溢。

2.2.4 基本的二进制加法/减法器

由n个1位的全加器（FA）串联组成，全加器包含三个输入（两个加数，一个前驱进位数）和两个输出（结果和进位）。M为方式控制输入线，M=0时做加法，M=1时做减法。

减法实现：通过 [ A-B ]_ 补 =[ A ]_ 补 + [ -B ]_ 补实现，-B的补码就是B连同符号位取反后+1，电路中通过一个异或门将B与1异或实现每位取反，C_0输入1实现末尾+1。

2.3 定点乘法运算

2.3.1 不带符号的列阵乘法器

如图，设A = a_{m-1}…a_1a_0 以及 B = b_{n-1}…b_1b_0 ,在二进制的乘法中被乘数 A 和乘数 B 产生 m+n 位乘积 P = p_{m+n-1}…p_1p_0 = \displaystyle \sum ^ {m-1}_ {i = 0}{\displaystyle \sum^{n-1}_ {j = 0}{(a_ib_j)2^{i+j}}}，其中每个a_ib_j称为一个被加数。

对于m * n 个被加数可以用m * n 个与门并行产生：

产生被加数后需要将其按照上述P的计算公式加起来，可以用一组并行的加法器实现，即列阵乘法器：

2.3.2 带符号的列阵乘法器

求补方法：从右往左扫描，遇到第一个“1”，将1左边的所有取反，右边连同自己不变，结果就是补码。

求补电路：

如图所示，C_{-1} 始终保持0，E 为控制信号，为1表示进行求补操作。最下方输出的即求补后的结果。

带符号的列阵乘法器含有三个求补器，其中两个为算前求补器，一个位算后求补器，结构如图所示：

使用规则（考）：

用于原码列阵乘法器：忽略三个求补器，单独考虑符号位，使用原码输入到乘法列阵运算。
用于补码列阵乘法器：单独考虑两个乘数的符号位，将负数的数值部分求补后输入给乘法列阵运算，若符号位异或后为1，则将乘法列阵输出的结果求补后加上符号位，如果符号位为0则直接加上符号位。

例题：

1.设x=+15，y=-13，用带求补器的原码阵列乘法器求出乘积x·y

由于是原码列阵乘法器，首先求出x和y的原码：[ x ]_ 原 = 01111，[ y ]_ 原 = 11101, 去掉符号位：|x|=1111，|y|=1101, 符号位运算：0 \bigoplus 1 = 1。

代码语言：javascript

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            1 1 1 1
×           1 1 0 1
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            1 1 1 1
          0 0 0 0
        1 1 1 1
+     1 1 1 1
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    1 1 0 0 0 0 1 1

乘积符号为1，算后求补器输出11000011，[x * y]原=111000011，换算成二进制数真值是： x*y = (-11000011)_2 = (-195)_{10}。

2.设x=-15，y=-13，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积x·y。

补码列阵乘法器，求出补码[ x ]_ 补=10001，[ y ]_ 补=10011，乘积符号位运算：1 \bigoplus 1=0。忽略符号位后用算前求补器输出 |x|=1111，|y|=1101 。

代码语言：javascript

复制

                1 1 1 1
×               1 1 0 1
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                1 1 1 1
              0 0 0 0
            1 1 1 1
＋         1 1 1 1
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        1 1 0 0 0 0 1 1

乘积符号为0，算后求补器输出 11000011，[x*y]_ 补=011000011。补码二进制数真值： x * y = 0 * 2^8＋1 * 2^7＋1 * 2^6＋ 1 * 2^1＋1 * 2^0 = (+195)_{10} 十进制数乘法验证：x * y = (-15) * (-13) = +195。

2.4 定点除法运算

2.4.1 原码除法算法原理

手算模拟除法：

上图可以发现：人工除法时，人可以比较被除数（余数）和除数的大小来确定商1(够减）或商0（不够减)。对于机器除法，余数为正表示够减，余数为负表示不够减。不够减时必须恢复原来余数，才能继续向下运算，这种叫做恢复余数法，由于有各种判断和恢复余数的操作，控制较为复杂，不常用。

计算机常用方法：加减交替法

余数为正，商1，下次除数右移做减法;余数为负，商0，下次除数右移做加法。

2.4.2 并行除法器

1. 可控加法减法单元（CAS）

它有四个输出和四个输入端，输入线P=0 时，CAS做加法，p = 1 时，CAS做减法。

CAS的输入输出关系可以用下式表示：

S_i = A_i \bigoplus(B_i\bigoplus P)\bigoplus C_i C_{i+1} = (A_i + C_i) \bigoplus (B_i \bigoplus P) + A_iC_i

P = 1时：

S_i = A_i \bigoplus B_i \bigoplus C_i

C_{i+1} = A_iB_i + B_iC_i + A_iC_i

P = 0时：

S_i = A_i \bigoplus \bar{B_i} \bigoplus C_i

C_{i+1} = A_i \bar{B_i} + \bar{B_i}C_i + A_iC_i

2. 加减交替的列阵除法器

3. 例题说明

x = -0.1011 y = -0.1101, 求[ x/y ]_ 原

[ x ]_ 原 = 1.1011 [ y ]_ 原 = 1.1101 [ y^* ]_ 补 = 0.1101 [ -y^* ]_ 补 = 1.0011

2.5 定点运算器的组成

2.5.1 逻辑运算

1. 逻辑非运算

逻辑非也称求反，对某数进行逻辑非就是按位求反，常用变量上加一横来表示。 x = x_0x_1x_2…x_n则 \bar{x} = \bar{x_0} \bar{x_1} \bar{x_2} … \bar{x_n} 例：x_1 = 01001011 \bar{x_1} = 10110100

2. 逻辑加运算

对两个数进行逻辑加就是按位求或，又称为逻辑或，常用“+”表示。

例：x = 10100001 y = 10011011 x+y = 10111011

注意逻辑加是按位运算，所以没有进位！

3.逻辑乘运算

对两个数进行逻辑乘就是按位求与，又称为逻辑与，常用“·”表示。

例：x = 10111001 y = 11110011 x·y = 10110001 注意逻辑乘是按位运算，所以没有进位！

4.逻辑异或运算

对两个数进行逻辑异或就是按位求它们的模2和，又称为按位加，常用“\bigoplus”表示。

例：x = 10101011 y = 11001100 x\bigoplus y = 01100111 注意逻辑乘是按位运算，所以没有进位！

2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元（ALU）

2.6 浮点运算方法和浮点运算器

2.6.1 浮点加减法

1.浮点加减法规则

2. 运算步骤

0操作数的检查： 检查x和y中是否存在0，如果存在0则无需计算，直接得出答案。

对阶： 将两个浮点数的阶码用补码表示，做相减运算得出需要移动的位数。遵守 小阶向大阶看齐 的原则，即小阶的尾数向右移，每移一位，阶码+1。

尾数加减运算： 与定点加减法运算一样，采用补码运算。

结果规格化：

上图可知：对于补码，规格化要求符号位和第一数位不同。

左规结果是00.00…001…或者11.11…110…这种形式的，没有发生溢出，不断地将尾数相对小数点向左移动一位，阶码相应-1，直到符号位和第一数位不同为止。
右规结果是01.xxxx或10.xxxx时，说明发生溢出，需要向右移动，01.xxxx向右移动一位变成00.xxxx，10.xxxx向右移动一位变成11.xxxx，阶码都相应+1。

舍入操作：

在对阶和右规过程中，可能出现尾数末尾丢失引起误差，需要考虑舍入。

0舍1入：类似四舍五入，丢弃的最高位为1，则进1，否则直接舍去。
朝0舍入：直接舍去。
朝+无穷舍入：正数多余位不全为“0”则进1，负数则截尾。
朝-无穷舍入：负数多余位不全为“0”则进1，正数则截尾。

溢出处理：

阶码上溢：超出阶码可能表示的最大值的正指数值，一般认为正无穷和负无穷。
阶码下溢：超出阶码可能表示的最小值的负指数值，一般认为0。
尾数上溢：尾数右移，阶码+1。
尾数下溢：尾数右移时最低有效位从尾数域右端流出，需要进行舍入操作。

例子：

x = 0.11.1 * 2^{10} y = 0.1011 * 2 ^{01}，求 x + y （除阶符、数符外，阶码取3位，尾数取6位）

解：

[ x ]_ 补 = 00,010; 00.110100 [ y ]_ 补 = 00,001; 00.101100

对阶

尾数求和

右规

计算机组成原理：第二章 运算法和运算器

2.1 数据与文字的表示方式

2.1.1 数据格式

1.定点数表示法

2.浮点数表示法

3. 浮点数表示范围

4. 浮点数的规格化

5. 十进制数表示

2.1.2数的机器码表示

1. 原码表示法

(1) 数学定义

(2) 举例

(3) 特点

2.补码表示法

(1) 补的概念

(2) 补码的定义

(4) 快速求补码

3.反码表示法

(1) 定义

4. 三种表示法小结

5.移码表示法

(1) 定义

(2) 特点

6. IEEE754标准

2.1.3字符与字符串的表示方法

2.1.4 汉字的表示方法

1. 汉字的输入编码

2.汉字内码

汉字字模码

2.1.5 校验码（奇偶校验）

2.2定点加减法运算

2.2.1 补码加法

2.2.2 补码减法

2.2.3 溢出概念与检测方法

1.定义

2.双符号位法判断溢出

3.单符号判断溢出

2.2.4 基本的二进制加法/减法器

2.3 定点乘法运算

2.3.1 不带符号的列阵乘法器

2.3.2 带符号的列阵乘法器

2.4 定点除法运算

2.4.1 原码除法算法原理

2.4.2 并行除法器

1. 可控加法减法单元（CAS）

2. 加减交替的列阵除法器

3. 例题说明

2.5 定点运算器的组成

2.5.1 逻辑运算

1. 逻辑非运算

2. 逻辑加运算

3.逻辑乘运算

4.逻辑异或运算

2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元（ALU）

2.6 浮点运算方法和浮点运算器

2.6.1 浮点加减法

1.浮点加减法规则

2. 运算步骤

计算机组成原理：第二章运算法和运算器