Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列(03):具体、抽象函数、隐函数、参数方程求导与方向导数计算

导数与微分是微积分内容的基础,就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数,导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别,但是其计算方法还是一样,只不过多元函数需要多计算几个导数而已.

本文将以具体实例形式,介绍线上计算具体、抽象函数的导数(偏导数)、微分与多元函数方向导数的计算方法.

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特别提示:如果使用网页版执行操作,不需要下载、安装任何软件,也不需要点任何链接,直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了!系列推文中除特别强调外,显示的结果都能直接看到的!

1、一元、多元函数一阶导数与导数值的计算

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d/dx((x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x))

执行后的结果如下图所示.

结果不仅显示导数结果,也给出了函数在不同范围内的图形. 输入表达式也可以直接以更自然的语言描述形式输入,比如输入:

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derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x)

执行计算得到的结果一致.

在以上两种输入的表达式后面加上where x=1,比如输入

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derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x) where x=1

2、一元、多元函数高阶导数的计算

3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

将上面具体函数求导的函数表达式换成抽象函数即可.

例1 计算下列函数的一阶、二阶导数:

F\left( x \right) = {x^2}f\left( {3x + 4\cos x} \right)

输入表达式为

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d/dx (x^2)f(3x+4cosx), d^2/dx^2 (x^2)f(3x+4cosx)

执行后的结果为

4、全微分的计算

其中derivative可以替换为differential. 也可以直接基于Wolfram语言,也即Mathematica中的命令来执行计算,比如输入表达式

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Dt(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

则将表达式中的符号都识别为变量符号,执行计算得到全微分表达式. 如下图.

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derivative x^3+y^3-3a x y=0 with respect to x

执行后的结果显示为

6、参数方程求一阶、二阶导数

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(d/dt e^t sint)/(d/dt e^t cost)

执行后的结果显示为

除了得到一阶导数结果外,当然还会显示一阶导函数很多各种相关的描述.

利用公式计算二阶导数,输入表达式为

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((d^2/dt^2 e^t sint)(d/dt e^t cost)-(d/dt e^t sint)(d^2/dt^2 e^t cost))/(d/dt e^t cost)^3

执行后的结果显示为

7、方向导数的计算

例1 计算以下函数指定方向的方向导数:

\eqalign{ & f\left( {x,y} \right) = x{e^{2y}} + \cos \left( {xy} \right), \cr & \vec u = \left( {3, - 4} \right) \cr}

输入表达式为

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derivative of x e^(2y)+cos(x y) in the direction (3,-4)

执行后的结果显示为

不仅给出了方向导数,也给出了函数的梯度向量.

例2 计算以下函数指定方向的方向导数:

z = f\left( {x,y} \right),\vec u = \left( {a,b} \right)

输入表达式为

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derivative of f(x,y) in the direction (a,b)

执行后的结果显示为

例3 计算以下函数指定方向和点处的方向导数:

\eqalign{ & f = 3{x^2} + 2{y^2} + {z^2}, \cr & \vec u = \left( { - 2, - 2,1} \right),P\left( {1,2,3} \right) \cr}

输入表达式为

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derivative 3x^2+2y^2+z^2 in direction (-2,-2,1) at point (1,2,3)

执行后的结果显示为

当然以上计算也可以直接依据求偏导数与方向导数计算公式,逐步计算代入得到结果.