Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列（04）四：函数单调性判定、极值点、拐点、驻点、鞍点、极值与最值的计算

本文将以具体实例形式，介绍线上判定一元函数的单调性，计算单调性区间的分界点、极值点与拐点，一元函数的极值与最值；判定多元函数的极值点、鞍点以及无条件极值、条件极值与最值的计算

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特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

1、一元函数单调性判定和临界点

例1 求下列函数的单调区间与单调性的分界点

f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x - 3

输入表达式为

代码语言：javascript

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where is 2x^3-9x^2+12x-3 increasing

执行后的结果显示如下：

结果中不仅给出了单调增加的范围，也给出单调递减的区间，同时给出了单调性改变的临界点，也就是单调区间的分解，定义域以及图形演示.

例2 求下列函数的单调区间

f(x) = (x - 1){x^{{\textstyle{2 \over 3}}}}

输入表达式为

代码语言：javascript

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where is (x - 1) (x^(2/3)) increasing

执行计算后发现只能得到大于0范围内的结果，小于0的范围不考虑，包括图形也只是显示非负的范围曲线，如下图.

也就是说当遇到一些根号里面为偶次方的函数时，执行后计算的结果只考虑大于等于0的范围，这个时候要正确完整显示，可能就需要执行一个操作。在上图结果的上方会出现一个提示，要求用the real-valued root代替操作，点击它，则完整显示计算应该得到的结果，如下图.

2、一元函数的驻点、拐点

例1 计算以下函数的驻点

f(x) = {x^3}\left( {{{{x^3}} \over 6} - {{{x^2}} \over 5} - {x \over 4} + {1 \over 3}} \right)

输入表达式为

代码语言：javascript

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stationary points of x^3 (x^3 /6-x^2/5-x/4+1/3)

执行后的结果显示为

结果不仅给出稳定点的位置，而且为极值点时直接告知是极大值还是极小值，是拐点的告知为拐点.

例2 计算以下函数的拐点

f(x) = {({x^2} - 1)^3} + 1

输入表达式为

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points of inflection of (x^2-1)^3+1

执行后的结果显示为

3、一元函数极值点与极值的计算

例计算以下函数极值点和极值

f\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} + 2

输入表达式为

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local extrema x^4-8x^2+2

执行后的结果显示为

【注】 一般对于可导函数计算结果一般没问题，对于极值点为不可导点的位置不一定能够正确得到结果.

4、一元函数的最值计算

例1 求下列函数在指定范围内的最大值、最小值

f\left( x \right) = |{x^3} - 9x|

求最大值输入表达式为

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maximize |x^3-9x|,-3<=x<=5

执行后的结果显示为

求最小值输入表达式为

代码语言：javascript

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minimize |x^3-9x|,-3<=x<=5

执行后的结果显示为

例2 求下列函数在指定范围内的最大值、最小值

f\left( x \right) = {1 \over {{x^2} + 2x + 5}},x \in R

求最大值输入表达式为

代码语言：javascript

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maximize 1/(x^2+2x+5)

执行后的结果显示为

求最大值输入表达式为

代码语言：javascript

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minimize 1/(x^2+2x+5)

结果显示该函数没有最小值. 输入

代码语言：javascript

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range of 1/(x^2+2x+5)

计算得到值域为

\left\{ {y \in {\bf{R}}:0 < y \le {1 \over 4}} \right\}

5、多元函数的鞍点、极值点的判定

例计算以下函数的驻点，并判定是否为极值点或鞍点：

f(x,y) = {x^3} - {y^3} + 3{x^2} + 3{y^2} - 9x

输入表达式为

代码语言：javascript

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stationary points of x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x

执行后的结果显示为

从结果可以看到分别为极大值点和极小值点，为鞍点

6、多元函数的无条件极值与最值

例1 计算以下函数极值点和极值

f(x,y) = {x^3} - {y^3} + 3{x^2} + 3{y^2} - 9x

输入表达式为

代码语言：javascript

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local extrema x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x

执行后的结果显示为

例2 求下列函数在指定范围内的最大值：

\eqalign{ & A = 24x\sin y - 2{x^2}\sin y + {x^2}\cos y\sin y \cr & (\,D:\,\;0 < x < 12\,,\;0 < y < {\pi \over 2}\,) \cr}

参考输入表达式为

代码语言：javascript

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maximize 24x siny-2x^2 siny+x^2 cosy siny, 0<x<12, 0<y<pi/2

执行后的结果显示为

7、多元函数的条件极值与最值

例1 求三个正数，使它们的和为100而乘积最大．输入表达式为

代码语言：javascript

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maximize x y z on x+y+z=100&&x>0&&y>0&&z>0

执行后的结果显示为

例2 求下列函数在指定范围内的最大值、最小值

\eqalign{ & z = {x^2} - xy + {y^2} \cr & D:|x| + |y| \le 1 \cr}

求最大值输入表达式为

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maximize x^2+y^2-x y on |x|+|y|<=1

执行后的结果显示为

求最小值输入表达式为

代码语言：javascript

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minimize x^2+y^2-x y on |x|+|y|<=1

执行后的结果显示为