【数值计算方法（黄明游）】矩阵特征值与特征向量的计算（二）：Jacobi 过关法（Jacobi 旋转法的改进）【理论到程序】

矩阵的特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）在很多应用中都具有重要的数学和物理意义。Jacobi 旋转法是一种用于计算对称矩阵特征值和特征向量的迭代方法，Jacobi 过关法是 Jacobi 旋转法的一种改进版本，其主要目的是减少计算工作和提高运行速度。
本文将详细介绍Jacobi 过关法的基本原理和步骤，并给出其Python实现。

一、Jacobi 旋转法

Jacobi 旋转法的每一次迭代中，需要选择一个非对角元素最大的位置，然后构造相应的旋转矩阵，进行相似变换，使得矩阵逐渐对角化。

对称矩阵是一个实数矩阵，其转置与自身相等。
对于一个方阵

，如果存在标量

和非零向量

，使得

Av = λv

，那么

就是

的特征值，

就是对应于

的特征向量。

1. 基本思想

Jacobi 旋转法的基本思想是通过一系列的相似变换，逐步将对称矩阵对角化，使得非对角元素趋于零。这个过程中，特征值逐渐浮现在对角线上，而相应的特征向量也被逐步找到。下面是 Jacobi 旋转法的基本步骤：

选择旋转角度： 选择一个旋转角度 θ，通常使得旋转矩阵中的非对角元素为零，从而实现对角化，通常选择非对角元素中绝对值最大的那个作为旋转的目标。
构造旋转矩阵： 构造一个旋转矩阵 J，该矩阵为单位矩阵，只有对应于选择的非对角元素的位置上有两个非零元素，其余位置上为零。这两个非零元素的值由旋转角度 θ 决定，例如，对于 2x2 矩阵，旋转矩阵可以表示为：

J = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}

相似变换： 计算相似变换矩阵

，即

P^TAP

，其中

是原始矩阵，

是旋转矩阵，计算过程如下：

P^TAP = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}

通过矩阵相乘计算，我们可以得到

P^TAP

中的非对角元素，假设这两个元素分别位于矩阵的 (1,2) 和 (2,1) 的位置。令

a_{ij}

为这两个元素，即

a_{ij}= a_{12} = a_{21}

。

接下来，我们希望通过选择合适的

\theta

使得

a_{ij}

变为零，从而达到对角化的目的，即

a_{12} = a_{21}

，进一步可推导出

\theta = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2 \cdot a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}}\right)

a_{ii}=a_{jj}

，则使用

arccot

形式

迭代： 重复步骤 1-3，直到矩阵 A 的非对角元素都趋于零或满足一定的精度要求。
提取特征值和特征向量： 对角线上的元素即为矩阵 A 的特征值，而 P 中的列向量即为对应于这些特征值的特征向量。

2. 注意事项

Jacobi 旋转法的优点是可以用于任意大小的对称矩阵，但其缺点是迭代次数较多，计算量较大。在实际应用中，通常会结合其他方法来提高计算效率。

二、Jacobi 过关法

Jacobi 过关法（Jacobi’s threshold method）是 Jacobi 旋转法的一种改进版本，其主要目的是减少计算工作和提高运行速度。该方法通过动态调整阈值，并根据阈值对非对角元素进行选择性的旋转变换，以逐步对角化对称矩阵。

1. 基本思想

计算非对角元素平方和： 对于对称矩阵

，计算其非对角元素平方和，表示为

u(A)

。然后取平方根，得到

r(A) = \sqrt{u(A)}

。

设定初始阈值

\theta

：预先设定一个初始阈值

\theta_0

。

扫描非对角元素： 对于

a_{ij}

其中

i \neq j

，扫描矩阵的上三角或下三角部分。

进行选择性旋转变换：对于绝对值大于当前阈值 \theta 的非对角元素 a i j a_{ij} aij，进行 Jacobi 旋转变换，将其旋转为零。旋转变换的具体步骤如下：选择旋转角度 ϕ \phi ϕ，通常通过 tan ⁡ ( 2 ϕ ) = 2 a i j a i i − a j j \tan(2\phi) = \frac{2a_{ij}}{a_{ii} - a_{jj}} tan(2ϕ)=aii−ajj2aij计算。构造旋转矩阵 J J J，其中除了 J i i J_{ii} Jii 和 J j j J_{jj} Jjj 外的元素都为零，而 J i j J_{ij} Jij 和 J j i J_{ji} Jji 元素由 cos ⁡ ( ϕ ) \cos(\phi) cos(ϕ) 和 − sin ⁡ ( ϕ ) -\sin(\phi) −sin(ϕ)决定。执行相似变换 A = J T A J A = J^T A J A=JTAJ。
调整阈值

\theta

：当所有非对角元素的绝对值都小于当前阈值

\theta

时，缩小阈值，即

\theta_{i+1} = \gamma \cdot \theta_i

，其中

\gamma

是一个缩小因子。

重复步骤 3-5： 重复上述步骤，直到满足某个收敛条件，例如

\theta_k < \epsilon

，其中

\epsilon

是一个很小的正数。

2. 注意事项

通过不断调整阈值并选择性地进行旋转变换，Jacobi 过关法逐渐减小非对角元素的绝对值，以达到更好的数值稳定性。这种方法的优点在于，通过智能地选择非对角元素进行变换，可以有效减少迭代次数，提高计算效率。

三、Python实现

代码语言：javascript

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import numpy as np
def jacobi_threshold_method(A, epsilon=1e-10, gamma=0.9):

n = A.shape[0]

theta = np.sqrt(np.sum(np.abs(np.triu(A, k=1)) ** 2))

eigenvectors = np.eye(n)
while theta &gt; epsilon:
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            if np.abs(A[i, j]) &gt; theta:
                # 计算旋转角度
                phi = 0.5 * np.arctan2(2 * A[i, j], A[i, i] - A[j, j])

                # 构造旋转矩阵
                J = np.eye(n)
                J[i, i] = J[j, j] = np.cos(phi)
                J[i, j] = -np.sin(phi)
                J[j, i] = np.sin(phi)

                # 执行相似变换
                A = np.dot(np.dot(J.T, A), J)

                # 更新特征向量
                eigenvectors = np.dot(eigenvectors, J)

    # 缩小阈值
    theta *= gamma

# 提取特征值和特征向量
eigenvalues = np.diag(A)

return eigenvalues, eigenvectors

示例矩阵
A = np.array([[2, -1, 0], [-1, 2, -1], [0, -1, 2]])
执行 Jacobi 过关法
eigenvalues, eigenvectors = jacobi_threshold_method(A)
print("特征值:", eigenvalues)

print("特征向量:")

np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)

print(eigenvectors)

迭代过程（调试）

第一次：

………

final：