卷积运算与相关运算
在计算机视觉领域，卷积核、滤波器通常为较小尺寸的矩阵，比如\(3\times3\)、\(5\times5\)等，数字图像是相对较大尺寸的2维（多维）矩阵（张量），图像卷积运算与相关运算的关系如下图所示（图片来自链接），其中\(F\)为滤波器，\(X\)为图像，\(O\)为结果。
相关是将滤波器在图像上滑动，对应位置相乘求和；卷积则先将滤波器旋转180度（行列均对称翻转），然后使用旋转后的滤波器进行相关运算。两者在计算方式上可以等价，有时为了简化，虽然名义上说是“卷积”，但实际实现时是相关。
在二维图像上，使用Sobel Gx滤波器进行卷积如下图所示（图片来自链接），
当输入为多维图像（或者多通道特征图）时，多通道卷积如下图所示（图片来自链接），图中输入图像尺寸为\(6\times6\)，通道数为3，卷积核有2个，每个尺寸为\(3\times3\)，通道数为3（与输入图像通道数一致），卷积时，仍是以滑动窗口的形式，从左至右，从上至下，3个通道的对应位置相乘求和，输出结果为2张\(4\times4\)的特征图。一般地，当输入为\(m\times n \times c\)时，每个卷积核为\(k\times k \times c\)，即每个卷积核的通道数应与输入的通道数相同（因为多通道需同时卷积），输出的特征图数量与卷积核数量一致，这里不再赘述。
理解卷积
这里提供两个理解卷积的角度：
- 从函数（或者说映射、变换）的角度理解。 卷积过程是在图像每个位置进行线性变换映射成新值的过程，将卷积核看成权重，若拉成向量记为\(w\)，图像对应位置的像素拉成向量记为\(x\)，则该位置卷积结果为\(y = w'x+b\)，即向量内积+偏置，将\(x\)变换为\(y\)。从这个角度看，多层卷积是在进行逐层映射，整体构成一个复杂函数，训练过程是在学习每个局部映射所需的权重，训练过程可以看成是函数拟合的过程。
- 从模版匹配的角度理解。 前面我们已经知道，卷积与相关在计算上可以等价，相关运算常用模板匹配，即认为卷积核定义了某种模式，卷积（相关）运算是在计算每个位置与该模式的相似程度，或者说每个位置具有该模式的分量有多少，当前位置与该模式越像，响应越强。下图为图像层面的模板匹配（图片来自链接），右图为响应图，可见狗头位置的响应最大。当然，也可以在特征层面进行模版匹配，卷积神经网络中的隐藏层即可以看成是在特征层面进行模板匹配。这时，响应图中每个元素代表的是当前位置与该模式的相似程度，单看响应图其实看不出什么，可以想像每个位置都有个“狗头”，越亮的地方越像“狗头”，若给定模板甚至可以通过反卷积的方式将图像复原出来。这里多说一句，我们真的是想把图像复原出来吗，我们希望的是在图像中找到需要的模式，若是通过一个非线性函数，将响应图中完全不像“狗头”的地方清零，而将像“狗头”的地方保留，然后再将图像复原，发现复原图中只有一个“狗头”，这是不是更美好——因为我们明确了图像中的模式，而减少了其他信息的干扰！
本篇文章将倾向于从第2个角度来理解卷积神经网络。
卷积能抽取特征
上一节中提到了“狗头”模板，如果把卷积核定为“狗头”模板会有什么问题？将缺乏灵活性，或者说泛化能力不够，因为狗的姿态变化是多样的，如果直接把卷积核定义得这么“死板”，狗换个姿势或者换一条狗就不认得了。
那么，为了适应目标的多样性，卷积核该怎么设计呢？这个问题，我们在下一节回答，这里先看看人工定义的卷积核是如何提取特征的。
以下图sobel算子为例（图片来自链接），对图像进行卷积，获得图像的边缘响应图，当我们看到响应图时，要知道图中每个位置的响应代表着这个位置在原图中有个形似sobel算子的边缘，信息被压缩了，响应图里的一个数值其实代表了这个位置有个相应强度的sobel边缘模式，我们通过卷积抽取到了特征。
人工能定义边缘这样的简单卷积核来描述简单模式，但是更复杂的模式怎么办，像人脸、猫、狗等等，尽管每个狗长得都不一样，但是我们即使从未见过某种狗，当看到了也会知道那是狗，所以对于狗这个群体一定是存在着某种共有的模式，让我们人能够辨认出来，但问题是这种模式如何定义？在上一节，我们知道“死板”地定义个狗的模板是不行的，其缺乏泛化能力，我们该怎么办？
通过多层卷积，来将简单模式组合成复杂模式，通过这种灵活的组合来保证具有足够的表达能力和泛化能力。
多层卷积能抽取复杂特征
为了直观，我们先上图，图片出自论文《Visualizing and Understanding Convolutional Networks》，作者可视化了卷积神经网络每层学到的特征，当输入给定图片时，每层学到的特征如下图所示，注意，我们上面提到过每层得到的特征图直接观察是看不出什么的，因为其中每个位置都代表了某种模式，需要在这个位置将模式复现出来才能形成人能够理解的图像，作者在文中将这个复现过程称之为deconvolution，详细查看论文（前文已经有所暗示，读者可以先独自思考下复现会怎么做）。
从图中可知，浅层layer学到的特征为简单的边缘、角点、纹理、几何形状、表面等，到深层layer学到的特征则更为复杂抽象，为狗、人脸、键盘等等，有几点需要注意：
- 卷积神经网络每层的卷积核权重是由数据驱动学习得来，不是人工设计的，人工只能胜任简单卷积核的设计，像边缘，但在边缘响应图之上设计出能描述复杂模式的卷积核则十分困难。
- 数据驱动卷积神经网络逐层学到由简单到复杂的特征（模式），复杂模式是由简单模式组合而成，比如Layer4的狗脸是由Layer3的几何图形组合而成，Layer3的几何图形是由Layer2的纹理组合而成，Layer2的纹理是由Layer1的边缘组合而成，从特征图上看的话，Layer4特征图上一个点代表Layer3某种几何图形或表面的组合，Layer3特征图上一个点代表Layer2某种纹理的组合，Layer2特征图上一个点代表Layer1某种边缘的组合。
- 这种组合是一种相对灵活的方式在进行，不同的边缘→不同纹理→不同几何图形和表面→不同的狗脸、不同的物体……，前面层模式的组合可以多种多样，使后面层可以描述的模式也可以多种多样，所以具有很强的表达能力，不是“死板”的模板，而是“灵活”的模板，泛化能力更强。
- 卷积神经网络真正使用时，还需要配合池化、激活函数等，以获得更强的表达能力，但模式蕴含在卷积核中，如果没有非线性激活函数，网络仍能学到模式，但表达能力会下降，由论文《Systematic evaluation of CNN advances on the ImageNet》，在ImageNet上，使用调整后的caffenet，不使用非线性激活函数相比使用ReLU的性能会下降约8个百分点，如下图所示。通过池化和激活函数的配合，可以看到复现出的每层学到的特征是非常单纯的，狗、人、物体是清晰的，少有其他其他元素的干扰，可见网络学到了待检测对象区别于其他对象的模式。
总结
本文仅对卷积神经网络中的卷积计算、作用以及其中隐含的思想做了介绍，有些个人理解难免片面甚至错误，欢迎交流指正。
参考
- Kernel (image processing)
- Forward And Backpropagation in Convolutional Neural Network
- 《Visualizing and Understanding Convolutional Networks》
- 《Systematic evaluation of CNN advances on the ImageNet》
- Deep Learning Specialization
